幂集公理

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在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中，这个公理读做:

$\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff (\forall y: y \in x \implies y \in A)$

或简写为：

$\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff x \subseteq A$

换句话说:

给定任何集合 A，有着一个集合 $\mathcal{P}(A)$ 使得，给定任何集合 B，B 是 $\mathcal{P}(A)$ 的成员，当且仅当 B 是 A 的子集。

通过外延公理这个集合是唯一的。我们可以称集合 $\mathcal{P}(A)$ 是 A 的幂集。所以这个公理的本质是:

所有集合都有一个幂集。

幂集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价物出现在所有可替代的集合论的公理化中。

[编辑] 推论

幂集公理允许定义两个集合 $X$ 和 $Y$ 的笛卡儿积:

$X \times Y = \{ (x, y) : x \in X \land y \in Y \}$ 。

笛卡儿积是个集合因为

$X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))$ 。

你可以递归的定义集合的任何有限的搜集的笛卡儿积:

$X_1 \times \cdots \times X_n = (X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n$ 。

注意笛卡儿积的存在性在不包含幂集公理的 Kripke-Platek 集合论中是可证明的。

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