正交

正交是直观概念中垂直的推广。作为一个形容词，只有在一个确定的内积空间中才有意义。若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角，则正交可以直观的理解为垂直。

[编辑] 各种正交概念

若内积空间中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若内积空间中的向量v与子空间A中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。

正交变换 $T : V \rightarrow V$ 是保持内积的线性变换。即是说，对两个向量，它们的内积等于它们在函数T下的像的内积：

$\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle.$

这也就是说，正交变换保持向量的长度不变，也保持两个向量之间的角度不变。

在二维或三维的欧几里德空间中，两个向量正交当且仅当他们的点积为零，即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中，一条直线的正交子空间是一个平面，反之亦然。四维空间中，一条直线的正交子空间则是一个超平面（hyperplane）。

对于两个函数 f 和g，可以定义如下的内积:

$\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.$

这里引进一个非负的权函数 $w (x)$ 。这个内积叫做带权 $w (x)$ 的内积。

两个函数带权 $w (x)$ 正交，是指它们带权 $w (x)$ 的内积为零。

$\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0.$

由此可以类似定义带权 $w (x)$ 的模。

$||f||_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}$

一个函数列{ f_i : i = 1, 2, 3, ... }如果满足：

$\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=||f_i||^2\delta_{i,j}=||f_j||^2\delta_{i,j}$

就称为带权 $w (x)$ 的正交函数族。

如果满足：

$\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}$

其中

$\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \mathrm{if}\ i=j \\ 0 & \mathrm{if}\ i\neq j\end{matrix}\right\}$

就称为带权 $w (x)$ 的标准正交函数族

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